Os alunos criativos em Matemática


 

Cleyton Hércules Gontijo

MatematicaHadamard (1954), em seu trabalho The Psychology of Invention in the Mathematical Field, apresenta um modelo que descreve o processo criativo em Matemática. Ele desenvolveu a sua teoria baseada no trabalho de Graham Wallas (1926/1973), bem como a partir das próprias experiências matemáticas e das experiências de muitos dos seus contemporâneos. Depois de analisar os testemunhos de seus colegas, ele começou a notar elementos semelhantes nos processos mentais que eles indicaram, encontrando correspondência entre estes e os estágios descritos por Wallas para a produção criativa, que são: preparação, incubação, iluminação, e verificação. Hadamard preocupou-se em descrever estes estágios relacionando-os ao trabalho criativo em Matemática. Segue a descrição de cada um destes estágios.

Preparação – Para fazer uma descoberta nova, a pessoa tem que ter um corpo de conhecimento com que sintetizar, pois é improvável que um indivíduo perceberá aspectos significativos de um determinado conteúdo matemático sem algum conhecimento sobre ele. Para Hadamard, o processo criativo origina-se a partir de um estado equilibrado de prontidão. Ao comentar suas próprias experiências, ele provê exemplos de suas descobertas que aconteceram em função de um “olhar perspicaz” lançado a partir de trabalhos com certa inconsistência ou que não haviam sido concluídos anteriormente e que ainda não haviam sido percebidos pela comunidade de matemáticos. Ressalta que o conhecimento associado a esta “perspicácia” propiciou a ele a descoberta. Desta maneira, a etapa de preparação atua de forma importante para o próximo estágio do processo criativo, a incubação.

Incubação – Este estágio é um período de relaxamento temporário no qual o problema com o qual se está trabalhando é colocado à parte. Assim, o subconsciente faz conexões entre os diversos saberes que a pessoa possui, organizando-os de modo a favorecer o surgimento de uma nova idéia para solucionar o problema ou a criação de uma nova abordagem para o mesmo.

Iluminação – O terceiro estágio, iluminação, é aquele em que as idéias aparecem de forma súbita como uma possível solução para o problema que havia sido colocado à parte. Hadamard descreve que este conhecimento súbito permite que o problema seja resolvido de forma “tranqüilamente” dedutiva. Para o autor, as iluminações revelam aspectos que guardam “parentescos” insuspeitos entre outros fatos conhecidos, mas que inicialmente pareciam ser estranhos entre si.

Verificação – O processo de verificação é necessário para assegurar o rigor e precisão das idéias que surgiram no momento da iluminação. Este também é o estágio no qual a idéia é formatada para apresentação ao público, podendo esta ser comunicada de forma escrita ou verbal.

Surgiram várias críticas em relação a esta seqüência de etapas, mas esta concepção ainda continua a ser apresentada como base de compreensão para o processo de resolução criativa de problemas (MORAIS, 2001; SRIRAMAN, 2004).

As críticas a este modelo referem-se, em especial, à falta de uma descrição de elementos extrínsecos ao indivíduo que interferem em sua produção. Aliás, uma das idéias errôneas acerca da criatividade é de que esta depende apenas de fatores intrapessoais, subestimando-se a enorme contribuição da sociedade como um todo no processo criativo (ALENCAR; FLEITH, 2003). Estudos recentes têm enfatizado que condições ambientais podem favorecer ou inibir a manifestação da criatividade, considerando que esta é um processo sociocultural e não apenas um fenômeno individual (AMABILE, 1996, 2001; CSIKSZENTMIHALYI, 1988, 1999; STERNBERG; LUBART, 1999).

Alencar e Fleith (2003) fazem alguns alertas em relação ao modelo proposto por Wallas, aqui apresentado a partir da perspectiva de Hadamard, destacando que o processo criativo pode ser assim caracterizado:

  • Ele não ocorre de maneira sistemática e organizada do começo ao fim. As etapas descritas anteriormente não são seguem, necessariamente, uma seqüência linear.
  • Condições favoráveis à criação, como disponibilidade de tempo e recursos, devem ser levadas em consideração no processo criativo.
  • Motivação intrínseca é um fator importante.
  • No decorrer deste processo, observa-se a conjugação de aspectos cognitivos e afetivos.
  • Bagagem de conhecimento sobre a área investigada é essencial para o desenvolvimento e para a implementação de novas idéias.
  • Estratégias metacognitivas, como monitoramento e avaliação, são utilizadas em diferentes momentos do processo (ALENCAR; FLEITH, 2003, p. 56-57).

Ressalta-se, entretanto, que apesar das considerações que apontam limitações no modelo proposto por Hadamard, este não deve ser descartado, mas, deve-se considerar que durante o período em que o indivíduo vivencia cada uma das etapas do processo criativo, processos cognitivos e características de personalidade, bem como características do ambiente social e cultural interagem para que ele possa produzir algo reconhecido como criativo em seu contexto. Destacamos que os processos cognitivos dizem respeito à forma como o indivíduo conhece, compreende, percebe, aprende etc. “Eles fazem referência à forma como o indivíduo lida com os estímulos do mundo externo: como o sujeito vê e percebe, como registra as informações e como acrescenta as novas informações aos dados previamente registrados” (ALENCAR; FLEITH, 2003, p. 26). As características de personalidade criativa referem-se à curiosidade, independência, autoconceito positivo, atração por problemas complexos, ausência de medo para correr riscos, entre outras. A motivação pode ser descrita pelo interesse, prazer e satisfação pela realização de uma tarefa. Pode também ser percebida quando o indivíduo busca informações em sua área de interesse, desenvolvendo assim suas habilidades de domínio. Outra característica decorrente da motivação é a capacidade de o indivíduo se arriscar e romper com estilos de produção de idéias habitualmente empregados (AMABILE, 2001).

Quanto às características do ambiente que favorecem a criatividade, destacamos, no âmbito escolar, realização de atividades centradas nos interesses dos estudantes; o alto nível de interação entre professor e alunos e entre alunos; planejamentos menos estruturados; exposição de várias estratégias de aprendizagem, permitindo aos estudantes escolher a sua própria estratégia e participação ativa nas atividades propostas.

Além dos processos cognitivos e características de personalidades citadas anteriormente, os alunos criativos em Matemática apresentam, também, outras características potenciais que podem ser observadas em sala de aula, por meio de suas atitudes, valores e motivações relativas a esta área do conhecimento.

Carlton (1959, apud, MANN, 2005), indicou 21 características potenciais que podem ser observadas nos alunos que apresentam pensamento criativo em Matemática. Apresentamos a seguir algumas dessas características:

(a) Sensibilidade estética, expressa na apreciação da harmonia, unidade e analogias presentes em soluções matemáticas, em demonstrações e na apreciação da estrutura da Matemática.

(b) Busca de conseqüências ou conexões entre um problema, proposição, ou conceito e o que pode ser feito a partir disto.

(c) Desejo por trabalhar independentemente do professor e dos outros alunos.

(d) Prazer de comunicar aspectos matemáticos com outras pessoas que têm igual habilidade e interesse.

(e) Especulação sobre o que aconteceria se fossem mudadas uma ou mais hipóteses de um problema.

(f) Tendência para generalizar resultados particulares, tanto encontrando uma linha comum de indução ou percebendo padrões semelhantes por analogia.

(g) Habilidade para compreender uma solução inteira de uma vez ou visualizar uma demonstração como um todo.

(h) Intuição para perceber os resultados a partir das proposições.

(i) Imaginação vívida relativa ao modo como as coisas aparecem no espaço e às relações estabelecidas entre elas.

(j) Convicção que todo problema tem uma solução.

(l) Persistência em trabalhar com problemas particularmente difíceis ou demonstrações.

Para favorecer o desenvolvimento de algumas destas características nos alunos, torna-se necessário que o professor também seja estimulado a desenvolver o seu potencial criativo em Matemática e, além disso, deve-se favorecer a ele o desenvolvimento de competências para organizar um ambiente adequado para o aprendizado da Matemática, inclusive para reconhecer a manifestação da criatividade nesta área. É fundamental que estes profissionais tenham uma visão do que vem a ser a Matemática e o que constitui as suas atividades, como se processa a aprendizagem nesta área e quais as características de um ambiente propício para essa aprendizagem (D’AMBRÓSIO, 1993).

Cabe aos professores identificar os talentos criativos de seus alunos, levando-os a desenvolvê-los de forma adequada, possibilitando que se dirijam para aquelas atividades com as quais apresentam mais afinidade (SCOMPARIM, 2004). Aos alunos talentosos deve-se oportunizar a participação em programas de enriquecimento, que se caracterizam por oferecer uma diversidade de atividades, trabalhando suas áreas de interesses, pautando-se na realização de atividades de cunho pedagógico por meio de estratégias criativas e adaptadas ao currículo. Essas atividades podem ser realizadas em modalidades individuais, coletivas, por área de interesse e ainda de forma interdisciplinar, desenvolvendo projetos, pesquisas, exposições e visitas a instituições (BARBOSA; SIMONETTI; RANGEL, 2005).

Estratégias para promover a criatividade em Matemática

Para favorecer o desenvolvimento da criatividade em Matemática, diversas atividades podem ser desenvolvidas, entre elas (GONTIJO, 2006b):

(a) Produções escritas, por meio das quais os alunos poderão questionar e analisar suposições, além de proporem problemas com palavras. Em situações desta natureza, os professores podem encorajar os alunos a considerarem determinadas características do campo matemático, por exemplo, propondo para os alunos uma pesquisa com o objetivo de analisar a razão pela qual o sistema de numeração utilizado no Brasil é de base 10, solicitando, ainda, que busquem imaginar como seriam as atividades que desenvolveríamos caso passássemos a utilizar outra base. Os professores podem, também, incentivar os alunos a proporem um problema matemático com palavras (STERNBERG; GRIGORENKO, 2004). Ainda neste campo de produções escritas, os alunos podem realizar pesquisas relativas às biografias dos matemáticos que contribuíram na formulação dos conteúdos com os quais estão trabalhando, indicando curiosidades de suas vidas e o contexto que em desenvolveram seus estudos.

(b) Produções numéricas e/ou algébricas, incluindo a criação de novos algoritmos para as operações numéricas, explicando como estes funcionam, bem como atividades que envolvem a percepção de padrões numéricos e sua representação algébrica. Uma atividade que pode ser proposta refere-se à produção de inúmeras formas de resolver um problema de natureza numérica, por exemplo, escrevendo sentenças matemáticas cujo resultado seja o número 4, utilizando-se para isto precisamente 4 vezes o dígito 4, envolvendo as operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada, fatorial e demais operações que o aluno conhecer (LIVNE; LIVNE; MILGRAM, 1999).

(c) Representações gráficas e construções geométricas, explorando o senso de proporção e simetria, visão espacial, compreensão e uso de perspectivas. Um tipo de situação geométrica que pode ser proposta para os alunos refere-se à construção de polígonos que tenham perímetros iguais a 14 centímetros, utilizando-se para isto de uma malha quadriculada em que cada quadrinho tenha área igual a 1 cm2 (VASCONCELOS, 2002). Nesta atividade, a criatividade poderá ser observada nas diferentes formas construídas e nas diferentes medidas de áreas que estes polígonos apresentam. Outra atividade que pode ser proposta refere-se à divisão de uma figura geométrica em uma determinada quantidade de partes, todas do mesmo tamanho. Nesta atividade os alunos deverão elaborar inúmeras formas de realizar a divisão da figura, observando as condições indicadas.

Além dessas atividades, outras estratégias também poderão ser utilizadas para favorecer o desenvolvimento da criatividade em Matemática, tais como as apresentadas por Sternberg e Grigorenko (2004), que incluem, entre outras:

(1) Encorajem os alunos a formularem uma pergunta nova, diferente, sobre um problema de Matemática existente (ou redefinir o problema, reescrevê-lo, mudar a sua perspectiva).

(2) Incentivar os alunos a convencerem os colegas de que suas idéias sobre como resolver problemas de Matemática estão certas.

(3) Estimular a imaginação no campo matemático, solicitando aos alunos que proponham problemas com palavras, ou ainda, incentivando-os a contemplarem quais seriam os efeitos sobre a sociedade se a Matemática subitamente desaparecesse do cenário contemporâneo, ou quais seriam os efeitos sobre a sociedade se todas as pessoas começassem a utilizar somente números romanos em qualquer cálculo matemático.

(4) Encorajar os alunos a considerarem um tipo de problema matemático que sempre resolveram de determinada maneira e resolvê-lo de um modo diferente, ou ainda, pedir aos alunos que inventem uma nova operação numérica e expliquem como ela funciona.

(5) Propor a resolução de um problema com um método comum e, depois, solicitar que desenvolvam um método novo de modo que ele seja mais eficiente do que o comum, estabelecendo comparações entre os métodos.

(6) Estimular os alunos a imaginarem usos da Matemática em atividades que lhes despertam interesse. Por exemplo, se os alunos manifestam interesse por um determinado esporte, pedir que inventem problemas matemáticos baseados neste esporte.

Além destes tipos de atividades, ressaltamos que o uso da metodologia de resolução de problemas é fundamental para o desenvolvimento da criatividade em Matemática, especialmente quando são utilizados problemas abertos, isto é, problemas que admitem múltiplas possibilidades de respostas e que podem ser obtidas por meio de múltiplos métodos de solução, incluindo-se aqueles criados pelos estudantes no momento da resolução (SARDUY, 1987).

Na resolução de problemas abertos, os estudantes devem ser os responsáveis pelas tomadas de decisão, não confiando esta responsabilidade ao professor ou as regras e modelos apresentados nos livros didáticos. A decisão de que tipo de método e/ou procedimento a ser utilizado poderá ser tomada a partir dos conhecimentos e experiências anteriores que os alunos apresentam, especialmente decorrentes do trabalho já desenvolvido para resolver problemas similares ou que tiveram contato. Ressalta-se a necessidade de propiciar aos alunos a oportunidade de construírem os seus próprios modelos, testá-los, para então chegar à solução. Será necessário também construir uma estratégia para comunicar para os colegas e para o professor a sua experiência de resolver o problema, explicando o processo mental utilizado e a forma como revisou as estratégias selecionadas para se chegar à solução. O sucesso deste último momento, o da comunicação, vai depender da profundidade com a qual o estudante compreendeu o problema, porém, possibilitará refletir a respeito dos métodos de solução selecionados e, ao mesmo tempo, como utilizá-los em outros problemas e áreas da Matemática.

Além da resolução de problemas, recomenda-se oportunizar aos alunos a experiência de formulação de problemas para explorar uma dada situação ou aspectos de um problema previamente conhecido. Esta estratégia fornece aos professores importantes insights acerca de como os estudantes estão compreendendo os conceitos e os processos matemáticos, bem como suas percepções a respeito das atividades desenvolvidas, suas atitudes em relação à Matemática e sobre sua capacidade criativa nesta área (ENGLISH, 1997)

Outra estratégia recomendada é a redefinição, que consiste em reorganizar e/ou classificar elementos ou dados matemáticos em função de seus atributos, de forma variada e original, gerando muitas possibilidades de representar essa situação (HAYLOCK, 1987).

O emprego destas estratégias, por si só, não garantirá uma produção criativa por parte dos alunos. Torna-se necessário criar um clima de sala de aula favorável à criatividade. Para isso, o professor deve ter atitudes que fortaleçam os traços de personalidade, tais como autoconfiança, curiosidade, persistência, independência de pensamento, coragem para explorar situações novas e lidar com o desconhecido. Além disso, deve colaborar com os alunos, ajudando-os a se desfazerem de bloqueios emocionais, como o medo de errar, o medo de ser criticado, sentimentos de inferioridade e insegurança (ALENCAR; FLEITH, 2003).

Referências:

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Cleyton Hércules Gontijo - Prof. Universidade Católica de Brasília/UCB

 

 

 

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